Numpy 傅立葉變換 np.fft (1)
一開始學傅立葉變換(Fourier Transform, FT)的時候，雖然懂得傅立葉的原理，但是感覺很不實在，因為無法碰觸到實際的操作，知道 FT 是從時間域到頻率域的轉換，但是不知道轉換後的結果是什麼樣子，因此我們就來看看 FT 的操作，印證所學的 FT 散落在各個角落沒有被提及的小特點，也許可以幫助更加熟悉 FT。
我們不看公式不看推導，但會印證結果。為了更加具象化，我們使用灰階圖像來操作，而不直接使用波。灰階圖像可以看是一組二維的陣列 a[x,y]，在(x,y) 的座標裡面有 0–255 的數值，代表的是灰階圖像在 (x,y) 這個點上的亮度，0是最暗，255 是最亮。相像一下，如果 XY 是一個平面，而原本代表亮度的值是高低。如下圖。
所以，對圖像做 FT，也就是對信號(或說波形)做 FT。在做 FT 時，因為原始數據是離散的一個一個獨立數據(或稱信號採樣數據)，所以稱為離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT) 。而我們使用的變換方式是計算速度比較快的FT ，稱為快速傅立葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)。因此，在本篇文章的范圍內 FT 就是 DFT 就是 FFT。
首先，我們來看 lena 經過 FFT 之後，會變什麼樣子，先上代碼
```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import skimage.io as io
import src.genpic8 as pic
if __name__ == ‘__main__’:
img = io.imread(‘asset/lena-gray.jpg’)
fft = np.fft.fft2(img)
amp_spectrum_ns = np.log(np.abs(fft))
amp_spectrum_nl = np.abs(np.fft.fftshift(fft))
amp_spectrum = np.log(amp_spectrum_nl)
plt.subplot(221), plt.imshow(img, cmap=’gray’, vmin=0, vmax=255)
plt.title(‘Input Image’), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(222), plt.imshow(amp_spectrum_ns, cmap=’gray’)
plt.title(‘non shift’), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(223), plt.imshow(amp_spectrum_nl, cmap=’gray’)
plt.title(‘non log’), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(224), plt.imshow(amp_spectrum, cmap=’gray’)
plt.title(‘Magnitude Spectrum’), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
print(‘end’)
```
首先讀入 lena_gray 然後放入 img 變數裡面做為原始圖像陣列。之後使用 np.fft.fft2 對原始圖像陣列做 FFT 然後存入 fft 變數裡面。這裡的 np.fft.fft2 是 Numpy 裡的 Fast Fourier Transform 子套件，fft2是二維傅立變換。
amp_spectrum_ns 變數存放的是低頻在四個角，還沒有使用 fftshift 移至中央，如下圖右上。
amp_spectrum_nl 變數存放的是沒有求自然數指數，數值類型為 float64 範圍很大 matplotlib 無法繪出，如下圖左下。
amp_spectrum 變數存放的是做完 FFT 之後的結果顯示，如下圖右下。
結論
我們在做完 FFT 之後，嚐試沒有做常規的處理 shift 及 log 並顯示結果。最後完成了熟悉的 FFT 結果圖。所以我們了解到，FFT完成後結果的低頻數據是存在四個角落，中間是高頻數據。為了顯示，我們才做 log 運算。
下一篇 我們將使用純白圖，上白下黑的圖片來做 FFT，並觀察其結果。
